Вязкостное решение

16.12.2020


Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

F ( x , u , D u , D 2 u ) = 0 {displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0} ,

заданное в области Ω ⊂ R n {displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}} , является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} таких, что их разница Y − X {displaystyle Y-X} положительно определенна, и любых значений x ∈ Ω {displaystyle xin Omega } , u ∈ R {displaystyle uin mathbb {R} } и p ∈ R n {displaystyle pin mathbb {R} ^{n}} выполняется неравенство

F ( x , u , p , X ) ⩾ F ( x , u , p , Y ) . {displaystyle F(x,u,p,X)geqslant F(x,u,p,Y).}

Примеры

  • Уравнение Лапласа − Δ u = 0 {displaystyle -Delta u=0} .
  • Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция u {displaystyle u} , заданная в Ω {displaystyle Omega } , называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки x 0 ∈ Ω {displaystyle x_{0}in Omega } и любой гладкой функции ϕ {displaystyle phi } такой, что ϕ ( x 0 ) = u ( x 0 ) {displaystyle phi (x_{0})=u(x_{0})} и ϕ ⩾ u {displaystyle phi geqslant u} в некоторой окрестности x 0 {displaystyle x_{0}} , выполняется неравенство

F ( x 0 , ϕ ( x 0 ) , D ϕ ( x 0 ) , D 2 ϕ ( x 0 ) ) ⩽ 0. {displaystyle F(x_{0},phi (x_{0}),Dphi (x_{0}),D^{2}phi (x_{0}))leqslant 0.}

Аналогично полунепрерывная снизу функция u {displaystyle u} , заданная в Ω {displaystyle Omega } , называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки x 0 ∈ Ω {displaystyle x_{0}in Omega } и любой гладкой функции ϕ {displaystyle phi } такой, что ϕ ( x 0 ) = u ( x 0 ) {displaystyle phi (x_{0})=u(x_{0})} и ϕ ⩽ u {displaystyle phi leqslant u} в некоторой окрестности x 0 {displaystyle x_{0}} выполняется неравенство

F ( x 0 , ϕ ( x 0 ) , D ϕ ( x 0 ) , D 2 ϕ ( x 0 ) ) ⩾ 0. {displaystyle F(x_{0},phi (x_{0}),Dphi (x_{0}),D^{2}phi (x_{0}))geqslant 0.}

Непрерывная функция u {displaystyle u} является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Крэндалла и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.