Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

16.12.2020


В численном анализе квадратурная формула Гаусса — Лагерра, или метод Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

∫ 0 + ∞ e − x f ( x ) d x {displaystyle int limits _{0}^{+infty }e^{-x}f(x),dx}

рядом по n {displaystyle n} точкам:

∫ 0 + ∞ e − x f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i f ( x i ) , {displaystyle int limits _{0}^{+infty }e^{-x}f(x),dxapprox sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}

где x i {displaystyle x_{i}} — это i {displaystyle i} -й корень полинома Лагерра L n ( x ) {displaystyle L_{n}(x)} , а коэффициенты w i {displaystyle w_{i}} :

w i = x i ( n + 1 ) 2 L n + 1 2 ( x i ) . {displaystyle w_{i}={frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.}

Для функции произвольного вида

Для интеграла произвольной функции можно записать:

∫ 0 + ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 + ∞ f ( x ) e x e − x d x = ∫ 0 + ∞ g ( x ) e − x d x , {displaystyle int limits _{0}^{+infty }f(x),dx=int limits _{0}^{+infty }f(x)e^{x}e^{-x},dx=int limits _{0}^{+infty }g(x)e^{-x},dx,}

где g ( x ) = f ( x ) e x {displaystyle g(x)=f(x)e^{x}} .

Далее можно применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра к новой функции g ( x ) {displaystyle g(x)} .