Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество A {displaystyle A} топологического пространства ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} , внутренность замыкания которого пуста ( Int ⁡ A ¯ = ∅ {displaystyle operatorname {Int} {ar {A}}=varnothing } ), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства X {displaystyle X} .

Эквивалентно, множество A ⊆ X {displaystyle Asubseteq X} является нигде не плотным в X {displaystyle X} тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве U {displaystyle U} можно найти непустое открытое множество V {displaystyle V} , не пересекающееся с A {displaystyle A} (то есть V ⊆ U ∖ A {displaystyle Vsubseteq Usetminus A} ).

Свойства

• Семейство N W D ( X ) {displaystyle { m {NWD}}(X)} всех нигде не плотных множеств пространства X {displaystyle X} образуют идеал подмножеств X {displaystyle X} , то есть: если A , B ∈ N W D ( X ) {displaystyle A,Bin { m {NWD}}(X)} , то A ∪ B ∈ N W D ( X ) {displaystyle Acup Bin { m {NWD}}(X)} , если A ∈ N W D ( X ) {displaystyle Ain { m {NWD}}(X)} и B ⊆ A {displaystyle Bsubseteq A} , то B ∈ N W D ( X ) {displaystyle Bin { m {NWD}}(X)} , X ∉ N W D ( X ) {displaystyle X otin { m {NWD}}(X)} .
• Если A ⊆ Y ⊆ X {displaystyle Asubseteq Ysubseteq X} и A {displaystyle A} является нигде не плотным в Y {displaystyle Y} ( A ∈ N W D ( Y ) {displaystyle Ain { m {NWD}}(Y)} где топология в Y {displaystyle Y} индуцированна от X {displaystyle X} ), тогда A ∈ N W D ( X ) {displaystyle Ain { m {NWD}}(X)} .
• Пусть A ⊆ Y ⊆ X {displaystyle Asubseteq Ysubseteq X} и Y {displaystyle Y} — плотное подмножество в X {displaystyle X} . Тогда A ∈ N W D ( X ) {displaystyle Ain { m {NWD}}(X)} тогда и только тогда, когда A ∈ N W D ( Y ) {displaystyle Ain { m {NWD}}(Y)} .
• Множество A {displaystyle A} является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.