Исключающее «или»

18.12.2020


Исключающее «или» (сложение по модулю 2, XOR, строгая дизъюнкция, поразрядное дополнение, инвертирование по маске, жегалкинское сложение, логическое вычитание, логическая неравнозначность) — булева функция, а также логическая и битовая операция, в случае двух переменных результат выполнения операции истинен тогда и только тогда, когда один из аргументов истинен, а другой — ложен. Для функции трёх (тернарное сложение по модулю 2) и более переменных — результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов, равных 1, составляющих текущий набор, — нечётное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 называется «исключающим „или“» и «строгой дизъюнкцией» для отличения от «обычного» (неисключающего) логического «или» — нестрогой логической дизъюнкции. В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметрической разности двух множеств.

Обозначения

Запись может быть префиксной («польская запись») — знак операции ставится перед операндами, инфиксной — знак операции ставится между операндами и постфиксной — знак операции ставится после операндов. При числе операндов более 2 префиксная и постфиксная записи экономичнее инфиксной записи. Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
⊕ 2 ( a , b ) ,   a {displaystyle oplus _{2}(a,b),~a} ^ b ,   a ⊕ b , a ⊕ 2 b , a + 2 b , {displaystyle b,~aoplus b,aoplus _{2}b,a+_{2}b,} a ≠ b, a ≠ b , ( a , b ) ⊕ 2 , a   X O R   b {displaystyle a eq b,(a,b)oplus _{2},a~XOR~b}

В Юникоде есть символы для сложения по модулю 2: U+22BB ⊻ xor, U+2295 ⊕ circled plus и U+2A27 ⨧ plus sign with subscript two, U+2A52 ⩒ logical or with dot above, а также символ для суммы по модулю 2: U+2A0A ⨊ modulo two sum.

Свойства

  • a ⊕ 0 = a {displaystyle aoplus 0=a} (идемпотентность)
  • a ⊕ 1 = a ¯ {displaystyle aoplus 1={ar {a}}} (отрицание)
  • a ⊕ a = 0 {displaystyle aoplus a=0} (самообратимость)
  • a ⊕ b = b ⊕ a {displaystyle aoplus b=boplus a} (коммутативность)
  • ( a ⊕ b ) ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) {displaystyle (aoplus b)oplus c=aoplus (boplus c)} (ассоциативность)
  • ( a ⊕ b ) ⊕ b = a {displaystyle (aoplus b)oplus b=a} (реверсивность)
  • a ¯ ⊕ b = a ⊕ b ¯ = ( a ≡ b ) {displaystyle {ar {a}}oplus b=aoplus {ar {b}}=(aequiv b)} (сравнения по модулю)

Булева алгебра

В булевой алгебре сложение по модулю 2 — это функция двух, трёх и более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} . Результат также принадлежит множеству { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 {displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например f a l s e , t r u e {displaystyle false,true} или F , T {displaystyle F,T} или «ложь», «истина», но при этом необходимо доопределять старшинство, например, t r u e > f a l s e {displaystyle true>false} .

Таблицы истинности:

  • для бинарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полусумматорах):

Правило: результат равен 0 {displaystyle 0} , если оба операнда равны; во всех остальных случаях результат равен 1 {displaystyle 1} .

  • для тернарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полных сумматорах):

Правило: результат равен 0 {displaystyle 0} , если нет операндов, равных 1 {displaystyle 1} , либо их чётное количество.

Программирование

В языках C/C++, Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Python и т. д. битовая операция поразрядного дополнения обозначается символом «^», в языках Паскаль, Delphi, Ada, Visual Basic — зарезервированным словом xor, в языке ассемблера — одноимённой логической командой. При этом сложение по модулю 2 выполняется для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если

a = 01100101 2 {displaystyle a=01100101_{2}}

b = 00101001 2 {displaystyle b=00101001_{2}}

то

a   ^ b = 01001100 2 {displaystyle a{hat { }}b=01001100_{2}}

Выполнение операции исключающее «или» для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например, в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: условие1 xor условие2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения логической операции XOR. В С++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение.

Использование побитового исключающего «или» позволяет поменять местами значения целых переменных без использования дополнительной памяти.

Связь с естественным языком

В естественном языке операция «сложение по модулю» эквивалентна двум выражениям:

  • «результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)»;
  • «если A не равно B (A≠B), то истина (1)».
  • Часто указывают на сходство между сложением по модулю 2 и конструкцией «либо … либо …» в естественном языке. Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению операции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1 {displaystyle 1} , а «ложь» как 0 {displaystyle 0} .

    Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

  • A ∨ B {displaystyle Alor B} истинно, если истинно A {displaystyle A} или B {displaystyle B} , или оба сразу («хотя бы один из двух»).
  • A ⊕ B {displaystyle Aoplus B} истинно, если истинно A {displaystyle A} или B {displaystyle B} , но не оба сразу («только один из двух»).
  • Операция ⊕ {displaystyle oplus } исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Операция ∨ {displaystyle lor } включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

    Квантовые вычисления

    В квантовых компьютерах аналог операции сложения по модулю 2 — вентиль CNOT.