Теорема о движении центра масс системы

18.12.2020


Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

  • система материальных точек;
  • протяжённое тело или система протяжённых тел;
  • вообще любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание утверждения теоремы о движении центра масс системы, формулируется следующим образом:

Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Доказательство

Пусть система состоит из N {displaystyle N} материальных точек с массами m i {displaystyle m_{i}} и радиус-векторами r → i {displaystyle {vec {r}}_{i}} . Как известно, центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка, радиус-вектор R → c {displaystyle {vec {R}}_{c}} которой удовлетворяет равенству

R → c = ∑ i m i r → i M , ( 1 ) {displaystyle {vec {R}}_{c}={frac {displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {r}}_{i}}{M}},qquad qquad (1)}

где M {displaystyle M} — масса всей системы, равная ∑ i m i . {displaystyle sum limits _{i}m_{i}.}

Дифференцируя (1) два раза по времени, для ускорения центра масс a → c {displaystyle {vec {a}}_{c}} получаем:

a → c = ∑ i m i a → i M , ( 2 ) {displaystyle {vec {a}}_{c}={frac {displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {a}}_{i}}{M}},qquad qquad (2)}

где a → i {displaystyle {vec {a}}_{i}} — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения целесообразно разделить все силы, действующие на тела системы, на два типа:

  • Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим F → i {displaystyle {vec {F}}_{i}} .
  • Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела самой системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать f → i , k {displaystyle {vec {f}}_{i,k}} . Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться f → k , i {displaystyle {vec {f}}_{k,i}} . Из сказанного очевидно, что если i = k {displaystyle i=k} , то f → i , k = 0. {displaystyle {vec {f}}_{i,k}=0.}

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

m i a → i = F → i + ∑ k f → i , k . ( 3 ) {displaystyle m_{i}{vec {a}}_{i}={vec {F}}_{i}+sum limits _{k}{vec {f}}_{i,k}.qquad qquad (3)}

Суммируя все уравнения вида (3), получим:

∑ i m i a → i = ∑ i F → i + ∑ i ∑ k f → i , k . ( 4 ) {displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {a}}_{i}=sum limits _{i}{vec {F}}_{i}+sum limits _{i}sum limits _{k}{vec {f}}_{i,k}.qquad qquad (4)}

Выражение ∑ i ∑ k f → i , k {displaystyle sum limits _{i}sum limits _{k}{vec {f}}_{i,k}} представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе f → i , k {displaystyle {vec {f}}_{i,k}} соответствует сила f → k , i {displaystyle {vec {f}}_{k,i}} такая, что f → i , k = − f → k , i {displaystyle {vec {f}}_{i,k}=-{vec {f}}_{k,i}} и, значит, выполняется f → i , k + f → k , i = 0. {displaystyle {vec {f}}_{i,k}+{vec {f}}_{k,i}=0.} Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, из (4) следует

∑ i m i a → i = ∑ i F → i . ( 5 ) {displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {a}}_{i}=sum limits _{i}{vec {F}}_{i}.qquad qquad (5)}

Далее, обозначив ∑ i F → i = F → {displaystyle sum limits _{i}{vec {F}}_{i}={vec {F}}} и подставив полученное выражение в (2), приходим к уравнению

a → c = F → M {displaystyle {vec {a}}_{c}={frac {vec {F}}{M}}} или к M a → c = F → . ( 6 ) {displaystyle M{vec {a}}_{c}={vec {F}}.qquad qquad (6)}

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Формула (6) является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Другая формулировка теоремы

Обратим внимание на то, что вид формулы (6) в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс:

Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Закон сохранения движения центра масс

Из (6) следует, что в отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Значение

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается уравнением (6). Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

История

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно». Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их».