Изолированная точка множества

19.12.2020


Изолированная точка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} , и подмножество A ⊂ X {displaystyle Asubset X} . Точка x ∈ A {displaystyle xin A} называется изолированной точкой множества A {displaystyle A} , если существует окрестность U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} такая, что U ∩ A = { x } . {displaystyle Ucap A={x}.}

Связанные определения

  • Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

Свойства

  • Произвольная функция f : A ⊂ X → Y {displaystyle f:Asubset X o Y} , где Y {displaystyle Y} — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке x {displaystyle x} .

Примеры

Пусть A = R {displaystyle A=mathbb {R} } — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

  • Если A = { 0 } ∪ [ 1 , 2 ] {displaystyle A={0}cup [1,2]} , то точка x = 0 {displaystyle x=0} является изолированной, а все остальные нет.
  • Если A = { 0 } ∪ { 1 n } n = 1 ∞ ≡ { 0 , 1 , 1 2 , 1 3 , … } , {displaystyle A={0}cup left{{frac {1}{n}} ight}_{n=1}^{infty }equiv left{0,1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},ldots ight},} то x = 0 {displaystyle x=0} не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
  • Множество натуральных чисел N {displaystyle mathbb {N} } дискретно.
  • Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
  • Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).