Числовая последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин варианта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть X {displaystyle X} — это либо множество вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } , либо множество комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } . Тогда последовательность ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle (x_{n})_{n=1}^{infty }} элементов множества X {displaystyle X} называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция ( ( − 1 ) n ) n = 1 ∞ {displaystyle left((-1)^{n} ight)_{n=1}^{infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨ − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … ⟩ {displaystyle langle -1,1,-1,1,-1,ldots angle } .
• Функция ( 1 / n ) n = 1 ∞ {displaystyle (1/n)_{n=1}^{infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨ 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , … ⟩ {displaystyle langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,ldots angle } .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n ⩽ 12 {displaystyle nleqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида ( x n ) n = 1 12 {displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}} . Например, пятым элементом x 5 {displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X {displaystyle X} можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X {displaystyle X} . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей ( x n ) {displaystyle (x_{n})} и ( y n ) {displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n + y n {displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}} .

Разностью числовых последовательностей ( x n ) {displaystyle (x_{n})} и ( y n ) {displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n − y n {displaystyle z_{n}=x_{n}-y_{n}} .

Произведением числовых последовательностей x n {displaystyle x_{n}} и y n {displaystyle y_{n}} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n ⋅ y n {displaystyle z_{n}=x_{n}cdot y_{n}} .

Частным числовой последовательности x n {displaystyle x_{n}} и числовой последовательности y n {displaystyle y_{n}} , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность z n = ( x n y n ) n = 1 ∞ {displaystyle z_{n}=left({frac {x_{n}}{y_{n}}} ight)_{n=1}^{infty }} . Если в последовательности y n {displaystyle y_{n}} на позиции k ≠ 1 {displaystyle k eq 1} всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность z n = ( x n y n ) n = 1 k − 1 {displaystyle z_{n}=left({frac {x_{n}}{y_{n}}} ight)_{n=1}^{k-1}} .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности ( x n ) {displaystyle (x_{n})} — это последовательность ( x n k ) {displaystyle (x_{n_{k}})} , где ( n k ) {displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности ( x k n ) {displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀ n ∈ N : k n ⩾ n {displaystyle forall nin mathbb {N} colon k_{n}geqslant n} .
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} стационарная ⇔ ( ∃ N ∈ N   ∀ i , j ∈ N : ( i ⩾ N ) ∧ ( j ⩾ N ) ⇒ ( x i = x j ) ) {displaystyle Leftrightarrow left(exists Nin mathbb {N} ~forall i,jin mathbb {N} colon left(igeqslant N ight)land left(jgeqslant N ight)Rightarrow left(x_{i}=x_{j} ight) ight)}

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X {displaystyle X} элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная сверху ⇔ ∃ M ∈ X   ∀ n ∈ N : x n ⩽ M {displaystyle Leftrightarrow exists Min X~forall nin mathbb {N} colon x_{n}leqslant M}
• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная снизу ⇔ ∃ m ∈ X   ∀ n ∈ N : x n ⩾ m {displaystyle Leftrightarrow exists min X~forall nin mathbb {N} colon x_{n}geqslant m}
• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔ ∃ m , M ∈ X   ∀ n ∈ N : m ⩽ x n ⩽ M {displaystyle Leftrightarrow exists m,Min X~forall nin mathbb {N} colon mleqslant x_{n}leqslant M}
• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} неограниченная ⇔ ∀ m , M ∈ X   ∃ n ∈ N : ( x n < m ) ∨ ( x n > M ) {displaystyle Leftrightarrow forall m,Min X~exists nin mathbb {N} colon left(x_{n}<m ight)lor left(x_{n}>M ight)}

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔ ∃ A ∈ R   ∀ n ∈ N : | x n | ⩽ A {displaystyle Leftrightarrow exists Ain mathbb {R} ~forall nin mathbb {N} colon |x_{n}|leqslant A}

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа ε {displaystyle varepsilon } все элементы ограниченной числовой последовательности ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle left(x_{n} ight)_{n=1}^{infty }} , начиная с некоторого номера, зависящего от ε {displaystyle varepsilon } , лежат внутри интервала ( lim _ n → ∞ ⁡ x n − ε , lim ¯ n → ∞ ⁡ x n + ε ) {displaystyle left(varliminf _{n o infty }x_{n}-varepsilon ,varlimsup _{n o infty }x_{n}+varepsilon ight)} .
• Если за пределами интервала ( a , b ) {displaystyle left(a,b ight)} лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle left(x_{n} ight)_{n=1}^{infty }} , то интервал ( lim _ n → ∞ ⁡ x n , lim ¯ n → ∞ ⁡ x n ) {displaystyle left(varliminf _{n o infty }x_{n},varlimsup _{n o infty }x_{n} ight)} содержится в интервале ( a , b ) {displaystyle left(a,b ight)} .
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если ( x n ) {displaystyle (x_{n})} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} , которая является бесконечно малой. Если же ( x n ) {displaystyle (x_{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n {displaystyle n} , и всё равно будет бесконечно малой.
• Если ( α n ) {displaystyle (alpha _{n})} — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ( 1 / α n ) {displaystyle (1/alpha _{n})} , которая является бесконечно большой. Если же ( α n ) {displaystyle (alpha _{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ( 1 / α n ) {displaystyle (1/alpha _{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n {displaystyle n} , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность ( x n ) {displaystyle (x_{n})} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} , которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность ( x n ) {displaystyle (x_{n})} можно представить в виде ( x n ) = ( a + α n ) {displaystyle (x_{n})=(a+alpha _{n})} , где a {displaystyle a} — предел последовательности ( x n ) {displaystyle (x_{n})} , а α n {displaystyle alpha _{n}} — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.