Постоянные Фейгенбаума

19.12.2020


Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Первая константа Фейгенбаума

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности x n + 1 = f a ( x n ) {displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})} , где a {displaystyle a} — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции f a ( x ) {displaystyle f_{a}(x)} — логистическое отображение

x n + 1 = f a ( x n ) = a x n ( 1 − x n ) {displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})}

В зависимости от параметра a {displaystyle a} , в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении a {displaystyle a} может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за a n {displaystyle a_{n}} значения a {displaystyle a} , при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших n {displaystyle n} значения a n {displaystyle a_{n}} сходятся к фиксированному значению a ∞ {displaystyle a_{infty }} . Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций f a ( x ) {displaystyle f_{a}(x)} (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума

δ = lim n → ∞ a n − 1 − a n − 2 a n − a n − 1 = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 … , {displaystyle delta =lim _{n o infty }{frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4{,}669;201;609;102;990;671;853;203;820;466;ldots ,}

При a > a ∞ {displaystyle a>a_{infty }} динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума

Вторая константа Фейгенбаума

α = 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 … {displaystyle alpha =2{,}502;907;875;095;892;822;283;902;873;218;ldots } —

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.


Свойства констант Фейгенбаума

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.