Удвоение куба

24.03.2021


Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

История

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили второй куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник должен быть единым кубом.

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб».

Попытки решения

  • Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его. В современных обозначениях — к нахождению x {displaystyle x} и y {displaystyle y} таких, что a x = x y = y 2 a {displaystyle {frac {a}{x}}={frac {x}{y}}={frac {y}{2a}}} . Отсюда x 3 = 2 a 3 {displaystyle x^{3}=2a^{3}} .
  • Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.
  • Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.
  • Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.
  • Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.
  • Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.
  • Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию, Филону Византийскому и Герону, также использует метод вставки.
  • В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу, Паппу и Спору, используется та же идея, что и в решении Платона, при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду.

Свои решения также предложили Виет, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Неразрешимость

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения x 3 = 2 a 3 {displaystyle x^{3}=2a^{3}} . Решение имеет вид x = a 2 3 {displaystyle x=a{sqrt[{3}]{2}}} . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной 2 3 {displaystyle {sqrt[{3}]{2}}} . Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, однако его можно осуществить, используя некоторые дополнительные инструменты, например, удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами.

Решение с помощью дополнительных средств

Удвоение куба с помощью невсиса

Возьмём равносторонний треугольник MPN со стороной a, продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM. Возьмём линейку невсиса с диастемой a и используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB. Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a.