Семейство (математика)

23.04.2021


Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию x {displaystyle x} вместе с её областью определения I {displaystyle I} и областью значений X {displaystyle X} . Множество I {displaystyle I} в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а X {displaystyle X} — индексированным множествами семейства.

Определение

Пусть I {displaystyle I} и X {displaystyle X} — некоторые множества, а x {displaystyle x} — сюръективная функция, такая что

x : I → X i ↦ x i = x ( i ) . {displaystyle {egin{aligned}x:I& o Xi&mapsto x_{i}=x(i).end{aligned}}}

Такое описание задаёт семейство элементов X {displaystyle X} индексированное множеством I {displaystyle I} , что также обозначается как { x i } i ∈ I {displaystyle {x_{i}}_{iin I}} или просто { x i } {displaystyle {x_{i}}} . Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

Примеры

Индексная нотация

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

  • Векторы v 1 , … , v n {displaystyle v_{1},dots ,v_{n}} линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов { v i } i ∈ { 1 , … , n } { extstyle {v_{i}}_{iin {1,dots ,n}}} . При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об i {displaystyle i} -м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

Матрицы

В следующем высказывании:

  • Матрица A {displaystyle A} невырождена если и только если её строки линейно независимы.

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

A = [ 1 1 1 1 ] . {displaystyle A={egin{bmatrix}1&11&1end{bmatrix}}.}

Множество её строк состоит из единственного элемента ( 1 , 1 ) {displaystyle (1,1)} и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примеры

Пусть через n {displaystyle {f {n}}} обозначается конечное множество { 1 , 2 , … , n } {displaystyle {1,2,dots ,n}} , где n {displaystyle n} — положительное целое число.

  • Пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством 2 = { 1 , 2 } {displaystyle {f {2}}={1,2}} .
  • Кортеж — это семейство, индексированное множеством n {displaystyle {f {n}}} .
  • Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
  • Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением n × m {displaystyle {f {n}} imes {f {m}}} .
  • Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.

Операции над семействами

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если { a i } i ∈ I {displaystyle {a_{i}}_{iin I}} — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

∑ i ∈ I a i . {displaystyle sum _{iin I}a_{i}.}

Если { A i } i ∈ I {displaystyle {A_{i}}_{iin I}} — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

⋃ i ∈ I A i . {displaystyle igcup _{iin I}A_{i}.}

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорий

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории C {displaystyle C} , индексированное некоторой другой категорией J {displaystyle J} , который также индексирует морфизмы категории.