Длина свободного пробега

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние λ {displaystyle lambda } , которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается средняя длина свободного пробега < λ {displaystyle lambda } >, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером L × L {displaystyle L imes L} , и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок). Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

ℓ = ( σ n ) − 1 , {displaystyle ell =(sigma n)^{-1},}

где n — количество частиц мишени в единице объёма, а σ — эффективное сечение.

Площадь такого слоя L2, объём L2 dx, и тогда количество неподвижных атомов в нём n L2 dx. Вероятность d P {displaystyle dP} рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

d P = σ n L 2 d x L 2 = n σ d x , {displaystyle dP={frac {sigma nL^{2},dx}{L^{2}}}=nsigma ,dx,} где σ — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение d I {displaystyle dI} интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

d I = − I n σ d x . {displaystyle dI=-Insigma ,dx.}

Получаем дифференциальное уравнение

d I d x = − I n σ = − I ℓ , {displaystyle {frac {dI}{dx}}=-Insigma =-{frac {I}{ell }},}

решение которого известно как закон закон Бугера и имеет вид I = I 0 e − x / ℓ {displaystyle I=I_{0}e^{-x/ell }} , где x — расстояние, пройденное пучком, I0 — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а ℓ называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от x до x + dx, равна

d P ( x ) = I ( x ) − I ( x + d x ) I 0 = 1 ℓ e − x / ℓ d x . {displaystyle dP(x)={frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={frac {1}{ell }}e^{-x/ell }dx.}

И таким образом, среднее значение x будет равно

⟨ x ⟩ = ∫ 0 ∞ x d P ( x ) = ∫ 0 ∞ x ℓ e − x / ℓ d x = ℓ . {displaystyle langle x angle =int _{0}^{infty }xdP(x)=int _{0}^{infty }{frac {x}{ell }}e^{-x/ell },dx=ell .}

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания T = I / I 0 = e − x / ℓ {displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/ell }} , где x = dx — толщина мишени

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула ℓ = ( n σ ) − 1 {displaystyle ell =(nsigma )^{-1}} , вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

v r e l a t i v e 2 ¯ = ( v 1 − v 2 ) 2 ¯ = v 1 2 + v 2 2 − 2 v 1 ⋅ v 2 ¯ . {displaystyle {overline {mathbf {v} _{ m {relative}}^{2}}}={overline {(mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{2})^{2}}}={overline {mathbf {v} _{1}^{2}+mathbf {v} _{2}^{2}-2mathbf {v} _{1}cdot mathbf {v} _{2}}}.}

В состоянии равновесия значения скоростей v 1 {displaystyle mathbf {v} _{1}} и v 2 {displaystyle mathbf {v} _{2}} случайны и независимы, поэтому v 1 ⋅ v 2 ¯ = 0 {displaystyle {overline {mathbf {v} _{1}cdot mathbf {v} _{2}}}=0} , а относительная скорость равна

v r e l = v r e l a t i v e 2 ¯ = v 1 2 + v 2 2 ¯ = 2 v . {displaystyle v_{ m {rel}}={sqrt {overline {mathbf {v} _{ m {relative}}^{2}}}}={sqrt {overline {mathbf {v} _{1}^{2}+mathbf {v} _{2}^{2}}}}={sqrt {2}}v.}

Это означает, что количество столкновений равно 2 {displaystyle {sqrt {2}}} , умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:

ℓ = ( 2 n σ ) − 1 {displaystyle ell =({sqrt {2}},nsigma )^{-1}}

Из закона Менделеева-Клапейрона n = N / V = p / ( k B T ) {displaystyle n=N/V=p/(k_{ ext{B}}T)} и с учётом σ = π ( 2 r ) 2 = π d 2 {displaystyle sigma =pi (2r)^{2}=pi d^{2}} (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом r {displaystyle r} ) можно показать, что длина свободного пробега равна

ℓ = k B T 2 π d 2 p , {displaystyle ell ={frac {k_{ ext{B}}T}{{sqrt {2}}pi d^{2}p}},} где kB — постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега

ℓ = μ p π k B T 2 m , {displaystyle ell ={frac {mu }{p}}{sqrt {frac {pi k_{ ext{B}}T}{2m}}},}

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

ℓ = μ p π R u T 2 M , {displaystyle ell ={frac {mu }{p}}{sqrt {frac {pi R_{u}T}{2M}}},}

где R u {displaystyle R_{u}} — универсальная газовая постоянная, а M {displaystyle M} — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула

λ = 1 2 σ n {displaystyle lambda ={frac {1}{{sqrt {2}}sigma n}}} , где σ {displaystyle sigma } — эффективное сечение молекулы, равное π d 2 {displaystyle {pi d^{2}}} ( d {displaystyle d} — эффективный диаметр молекулы), а n {displaystyle n} — концентрация молекул.

Примеры

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.