Неравенство Лоясевича

07.07.2021


Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем (польск. Stanisław Łojasiewicz), дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство нашло применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Формулировка

Пусть функция f : U → R {displaystyle f:U o mathbb {R} } является вещественно аналитической на непустом открытом множестве U ⊂ R n {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} и пусть Z = { x ∈ U : f ( x ) = 0 } {displaystyle Z={xin U:f(x)=0}} — множество нулей функции f {displaystyle f} . Если множество Z {displaystyle Z} непусто, то для любого непустого компакта K ⊂ U {displaystyle Ksubset U} существуют такие константы α ≥ 2 {displaystyle alpha geq 2} и C > 0 {displaystyle C>0} , что имеет место неравенство

inf z ∈ Z | x − z | α ≤ C | f ( x ) |     ∀ x ∈ K , {displaystyle inf _{zin Z}|x-z|^{alpha }leq C|f(x)| forall ,xin K,}

число α {displaystyle alpha } в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки p ∈ U {displaystyle pin U} существует достаточно малая её окрестность W ⊂ U {displaystyle Wsubset U} и такие константы 0 < β < 1 {displaystyle 0<eta <1} и C > 0 {displaystyle C>0} , что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

| f ( x ) − f ( p ) | β ≤ C | ∇ f ( x ) |     ∀ x ∈ W . {displaystyle |f(x)-f(p)|^{eta }leq C| abla f(x)| forall ,xin W.}

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.