Теорема Реллиха

21.07.2021


В математическом анализе и дифференциальном исчислении теорема Реллиха — теорема о целых решениях дифференциального уравнения, доказанная в 1940 году Францем Реллихом.

Формулировка

Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений u ( t ) + ( v ( t ) − u ( t ) ) c n {displaystyle u(t)+(v(t)-u(t))c_{n}} при любых заданных u ( t ) , v ( t ) {displaystyle u(t),v(t)} , не равных друг другу ни при каком значении t {displaystyle t} , и любом наборе чисел c n {displaystyle c_{n}} (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).

Следствия

Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение x = x ( t , C ) {displaystyle x=x(t,C)} нелинейного уравнения x ˙ = f ( x , t ) {displaystyle {dot {x}}=f(x,t)} с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.