Числа Якобсталя

25.07.2021


Числа Якобсталя — целочисленная последовательность, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Числа Якобсталя

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

U n ( P , Q ) , {displaystyle U_{n}(P,Q),}

для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

J n = { 0 , n = 0 ; 1 , n = 1 ; J n − 1 + 2 J n − 2 , n > 1. {displaystyle J_{n}={egin{cases}0,&n=0;1,&n=1;J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.end{cases}}}

Другие варианты рекуррентного задания последовательности:

  • J n + 1 = 2 J n + ( − 1 ) n {displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}
  • J n + 1 = 2 n − J n {displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

J n = 2 n − ( − 1 ) n 3 . {displaystyle J_{n}={frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}

Числа Якобсталя-Люка

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка V n ( 1 , − 2 ) {displaystyle V_{n}(1,-2)} . Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:

j n = { 2 , n = 0 ; 1 , n = 1 ; j n − 1 + 2 j n − 2 , n > 1. {displaystyle j_{n}={egin{cases}2,&n=0;1,&n=1;j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.end{cases}}}

Альтернативная формула:

j n + 1 = 2 j n − 3 ( − 1 ) n . {displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.}

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

j n = 2 n + ( − 1 ) n . {displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …