Свободная частица

Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• E = T = m v 2 2 {displaystyle E=T={frac {mv^{2}}{2}}} , где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
• E = T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 {displaystyle E=T={frac {mc^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}} , где с — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m Δ ψ {displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}Delta psi }

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

ψ k = A k e i k ⋅ r − i t E / ℏ {displaystyle psi _{mathbf {k} }=A_{mathbf {k} }e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} -itE/hbar }} ,

где

E = ℏ 2 k 2 2 m {displaystyle E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} ,

A k {displaystyle A_{mathbf {k} }} любое комплексное число.

Волновой вектор k {displaystyle mathbf {k} } является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется p = ℏ k {displaystyle mathbf {p} =hbar mathbf {k} } . В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

H = − ℏ 2 2 m Δ {displaystyle H=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}Delta }

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

Δ = 1 g ∂ ∂ q i ( g g i k ∂ ∂ q k ) {displaystyle Delta ={frac {1}{sqrt {g}}}{frac {partial }{partial q^{i}}}left({sqrt {g}}g^{ik}{frac {partial }{partial q^{k}}} ight)}

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:

H = − ℏ 2 2 m 1 g ∂ ∂ q i ( g g i k ∂ ∂ q k ) {displaystyle H=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {1}{sqrt {g}}}{frac {partial }{partial q^{i}}}left({sqrt {g}}g^{ik}{frac {partial }{partial q^{k}}} ight)}

Классическая функция Гамильтона имеет вид

H c ( p , q ) = 1 2 m g i k ( q ) p i p k {displaystyle H_{c}(mathbf {p} ,mathbf {q} )={frac {1}{2m}}g^{ik}(mathbf {q} )p_{i}p_{k}}

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально

H ( P , Q ) = 1 2 m ( g i k ( Q ) P i P k + i ℏ g i s ( Q ) Γ i s k ( Q ) P k ) {displaystyle H(mathbf {P} ,mathbf {Q} )={frac {1}{2m}}left(g^{ik}(mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+ihbar g^{is}(mathbf {Q} )Gamma _{is}^{k}(mathbf {Q} )P_{k} ight)}

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

E = ± c m 2 c 2 + p 2 {displaystyle E=pm c{sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}} ,

где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.