Теорема Пестова — Ионина

01.01.2022


Теорема Пестова — Ионина — классическая теорема дифференциальной геометрии плоских кривых, обобщение теоремы о четырёх вершинах.

Теорема сформулирована Абрамом Ильичом Фетом, доказана Германом Гавриловичем Пестовым, его доказательтво существенно упрощено Владимиром Кузьмичём Иониным. Для выпуклых кривых результат был известен существенно раньше.

Формулировка

Любая область плоскости, ограниченная гладкой замкнутой кривой с кривизной не более 1, содержит круг радиуса 1.

Вариации и обобщения

  • Из доказательства Пестова и Ионина следует более сильное утверждение: для любой простой гладкой замкнутой регулярной кривой на плоскости существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится в замкнутой области внутри кривой; также существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится во внешней замкнутой области кривой.
    • Точки в которых соприкасающаяся окружность лежит по одну сторону от кривой являются вершинами кривой, а значит приведённое утверждение является усилением теоремы о четырёх вершинах.
  • Аналогичный результат в пространстве не верен, а именно существуют вложения сферы с главными кривизнами, не превосходящими 1 по абсолютной величине, такие, что ограниченная ею область не содержит шара радиуса 1.