Модифицированное Z-преобразование

02.03.2022


Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

F ( z , m ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T + m ) z − k {displaystyle F(z,m)=sum _{k=0}^{infty }f(kT+m)z^{-k}}

где

  • T — период дискретизации
  • m («параметр смещения») — часть периода дискретизации [ 0 , T ) . {displaystyle [0,T).}

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

Z [ ∑ k = 1 n c k f k ( t ) ] = ∑ k = 1 n c k F ( z , m ) . {displaystyle Zleft[sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t) ight]=sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}

Сдвиг по времени

Z [ u ( t − n T ) f ( t − n T ) ] = z − n F ( z , m ) . {displaystyle Zleft[u(t-nT)f(t-nT) ight]=z^{-n}F(z,m).}

Ослабление

Z [ f ( t ) e − a t ] = e − a m F ( e a T z , m ) . {displaystyle Zleft[f(t)e^{-a,t} ight]=e^{-a,m}F(e^{a,T}z,m).}

Умножение аргумента

Z [ t y f ( t ) ] = ( − T z d d z + m ) y F ( z , m ) . {displaystyle Zleft[t^{y}f(t) ight]=left(-Tz{frac {d}{dz}}+m ight)^{y}F(z,m).}

Теорема о конечном значении

lim k = ∞ f ( k T + m ) = lim k = 1 + F ( z , m ) . {displaystyle lim _{k=infty }f(kT+m)=lim _{k=1+}F(z,m).}

Таблица основных преобразований

Пример

Пусть оригинал для преобразования f ( t ) = cos ⁡ ( ω t ) {displaystyle f(t)=cos(omega t)} . Тогда:

F ( z , m ) = Z [ cos ⁡ ( ω ( k T + m ) ) ] {displaystyle F(z,m)=Zleft[cos left(omega left(kT+m ight) ight) ight]} F ( z , m ) = Z [ cos ⁡ ( ω k T ) cos ⁡ ( ω m ) − sin ⁡ ( ω k T ) sin ⁡ ( ω m ) ] {displaystyle F(z,m)=Zleft[cos(omega kT)cos(omega m)-sin(omega kT)sin(omega m) ight]} F ( z , m ) = cos ⁡ ( ω m ) Z [ cos ⁡ ( ω k T ) ] − sin ⁡ ( ω m ) Z [ sin ⁡ ( ω k T ) ] {displaystyle F(z,m)=cos(omega m)Zleft[cos(omega kT) ight]-sin(omega m)Zleft[sin(omega kT) ight]} F ( z , m ) = cos ⁡ ( ω m ) z ( z − cos ⁡ ( ω T ) ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 − sin ⁡ ( ω m ) z sin ⁡ ( ω T ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 {displaystyle F(z,m)=cos(omega m){frac {zleft(z-cos(omega T) ight)}{z^{2}-2zcos(omega T)+1}}-sin(omega m){frac {zsin(omega T)}{z^{2}-2zcos(omega T)+1}}} F ( z , m ) = z 2 cos ⁡ ( ω m ) − z cos ⁡ ( ω ( T − m ) ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 . {displaystyle F(z,m)={frac {z^{2}cos(omega m)-zcos(omega (T-m))}{z^{2}-2zcos(omega T)+1}}.}

Если m = 0 {displaystyle m=0} , то F ( z , m ) {displaystyle F(z,m)} совпадает с Z-преобразованием:

F ( z , 0 ) = z 2 − z cos ⁡ ( ω T ) z 2 − 2 z cos ⁡ ( ω T ) + 1 {displaystyle F(z,0)={frac {z^{2}-zcos(omega T)}{z^{2}-2zcos(omega T)+1}}}