q-символ Похгаммера

19.05.2022


Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как

( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {displaystyle (a;q)_{n}=prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})cdots (1-aq^{n-1})} ,

при этом

( a ; q ) 0 = 1 {displaystyle (a;q)_{0}=1}

по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории базисных гипергеометрических рядов q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории обобщённых гипергеометрических рядов.

В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:

( a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) . {displaystyle (a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1-aq^{k}).}

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай

φ ( q ) = ( q ; q ) ∞ = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {displaystyle varphi (q)=(q;q)_{infty }=prod _{k=1}^{infty }(1-q^{k})}

известен как функция Эйлера и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.

Тождества

Конечное произведение можно выразить через бесконечное:

( a ; q ) n = ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ , {displaystyle (a;q)_{n}={frac {(a;q)_{infty }}{(aq^{n};q)_{infty }}},}

что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем

( a ; q ) − n = 1 ( a q − n ; q ) n = ∏ k = 1 n 1 ( 1 − a / q k ) {displaystyle (a;q)_{-n}={frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=prod _{k=1}^{n}{frac {1}{(1-a/q^{k})}}}

и

( a ; q ) − n = ( − q / a ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q / a ; q ) n . {displaystyle (a;q)_{-n}={frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}

Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов

( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q ; q ) n x n {displaystyle (x;q)_{infty }=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}

и

1 ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ x n ( q ; q ) n {displaystyle {frac {1}{(x;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}} ,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:

( a x ; q ) ∞ ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n x n . {displaystyle {frac {(ax;q)_{infty }}{(x;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}

Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова для доказательства):

( q ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) / 2 ( q ; q ) n ( 1 − z q n ) ,   | z | < 1. {displaystyle {frac {(q;q)_{infty }}{(z;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}}, |z|<1.}

Комбинаторная интерпретация

Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при q m a n {displaystyle q^{m}a^{n}} в

( a ; q ) ∞ − 1 = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) − 1 {displaystyle (a;q)_{infty }^{-1}=prod _{k=0}^{infty }(1-aq^{k})^{-1}}

равен числу разбиений m на не более чем n частей.

Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:

( a ; q ) ∞ − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( ∏ j = 1 k 1 1 − q j ) a k = ∑ k = 0 ∞ a k ( q ; q ) k {displaystyle (a;q)_{infty }^{-1}=sum _{k=0}^{infty }left(prod _{j=1}^{k}{frac {1}{1-q^{j}}} ight)a^{k}=sum _{k=0}^{infty }{frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}} ,

как в разделе выше.

Коэффициент при q m a n {displaystyle q^{m}a^{n}} в

( − a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 + a q k ) {displaystyle (-a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1+aq^{k})}

равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.

Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:

( − a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 + a q k ) = ∑ k = 0 ∞ ( q ( k 2 ) ∏ j = 1 k 1 1 − q j ) a k = ∑ k = 0 ∞ q ( k 2 ) ( q ; q ) k a k {displaystyle (-a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1+aq^{k})=sum _{k=0}^{infty }left(q^{k choose 2}prod _{j=1}^{k}{frac {1}{1-q^{j}}} ight)a^{k}=sum _{k=0}^{infty }{frac {q^{k choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}

также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для ( q ) ∞ := ( q ; q ) ∞ {displaystyle (q)_{infty }:=(q;q)_{infty }} возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, p ( n ) {displaystyle p(n)} , которая также разлагается в следующие два q-ряда:

1 ( q ; q ) ∞ = ∑ n ≥ 0 p ( n ) q n = ∑ n ≥ 0 q n ( q ; q ) n = ∑ n ≥ 0 q n 2 ( q ; q ) n 2 . {displaystyle {frac {1}{(q;q)_{infty }}}=sum _{ngeq 0}p(n)q^{n}=sum _{ngeq 0}{frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=sum _{ngeq 0}{frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}

Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:

( a 1 , a 2 , … , a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a m ; q ) n . {displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}ldots (a_{m};q)_{n}.}

Q-ряды

Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с ( a ; q ) n {displaystyle (a;q)_{n}} . Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843).

Связь с другими q-функциями

Принимая во внимание, что

lim q → 1 1 − q n 1 − q = n , {displaystyle lim _{q ightarrow 1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}

мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным

[ n ] q = 1 − q n 1 − q . {displaystyle [n]_{q}={frac {1-q^{n}}{1-q}}.}

Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал

Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над полем с одним элементом.

Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:

∏ k = 1 n [ − k ] q = ( − 1 ) n [ n ] q ! q n ( n + 1 ) / 2 {displaystyle prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={frac {(-1)^{n},[n]_{q}!}{q^{n(n+1)/2}}}}

От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом

[ n k ] q = [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! , {displaystyle {egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}={frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}},}

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что [ n m ] q = [ n n − m ] q {displaystyle {egin{bmatrix}nmend{bmatrix}}_{q}={egin{bmatrix}nn-mend{bmatrix}}_{q}} для всех 0 ⩽ m ⩽ n {displaystyle 0leqslant mleqslant n} .

Можно показать, что

[ n + 1 k ] q = [ n k ] q + q n − k + 1 [ n k − 1 ] q = [ n k − 1 ] q + q k [ n k ] q . {displaystyle {egin{aligned}{egin{bmatrix}n+1kend{bmatrix}}_{q}&={egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{egin{bmatrix}nk-1end{bmatrix}}_{q}&={egin{bmatrix}nk-1end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}.end{aligned}}}

Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты q {displaystyle q} -биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов:

( z ; q ) n = ∑ j = 0 n [ n j ] q ( − z ) j q ( j 2 ) = ( 1 − z ) ( 1 − q z ) ⋯ ( 1 − z q n − 1 ) ( − q ; q ) n = ∑ j = 0 n [ n j ] q 2 q j ( q ; q 2 ) n = ∑ j = 0 2 n [ 2 n j ] q ( − 1 ) j 1 ( z ; q ) m + 1 = ∑ n ≥ 0 [ n + m n ] q z n . {displaystyle {egin{aligned}(z;q)_{n}&=sum _{j=0}^{n}{egin{bmatrix}njend{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{inom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)cdots (1-zq^{n-1})(-q;q)_{n}&=sum _{j=0}^{n}{egin{bmatrix}njend{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}(q;q^{2})_{n}&=sum _{j=0}^{2n}{egin{bmatrix}2njend{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}{frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=sum _{ngeq 0}{egin{bmatrix}n+mnend{bmatrix}}_{q}z^{n}.end{aligned}}}

Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией и определённый как

Γ q ( x ) = ( 1 − q ) 1 − x ( q ; q ) ∞ ( q x ; q ) ∞ {displaystyle Gamma _{q}(x)={frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{infty }}{(q^{x};q)_{infty }}}}

Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что

Γ q ( x + 1 ) = [ x ] q Γ q ( x ) {displaystyle Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}Gamma _{q}(x)}

для любого x и

Γ q ( n + 1 ) = [ n ] q ! . {displaystyle Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{frac {}{}}.}

для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.