Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.
Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.
Определение
Начальные условия
Кривая
Пусть l {displaystyle l} — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:
l : r ( t ) , {displaystyle lcolon ~mathbf {r} (t),}где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой l . {displaystyle l.} При этом не играет роли, что больше — b или a.
Интегрируемая функция
Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой l : {displaystyle lcolon } f ( r ) {displaystyle f(mathbf {r} )} или f ( r ) . {displaystyle mathbf {f} (mathbf {r} ).}
Разбиение
Разбиение отрезка параметризации
- Пусть дано разбиение отрезка [ a , b ] {displaystyle [a,b]} (или [ b , a ] {displaystyle [b,a]} ) то есть множество { t k } k = 0 n = { t 0 , . . . , t n } , {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}={t_{0},~...,t_{n}},} где:
- a = t 0 < … < t n = b , {displaystyle a=t_{0}<ldots <t_{n}=b,} если a < b ; {displaystyle a<b;}
- или a = t 0 > … > t n = b , {displaystyle a={{t}_{0}}>ldots >{{t}_{n}}=b,} если a > b . {displaystyle a>b.}
- Мелкостью этого разбиения называется число max k = 1 , n ¯ { | t k − t k − 1 | } , {displaystyle max _{k={overline {1,n}}}{|t_{k}-t_{k-1}|},} обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
- Введём набор промежуточных точек разбиения — точек ξ k , {displaystyle xi _{k},} каждая из которых лежит между t k − 1 {displaystyle t_{k-1}} и t k {displaystyle t_{k}} ( k = 1 , n ¯ {displaystyle k={overline {1,n}}} ).
Разбиение кривой
- Зададим разбиение кривой { r ( t k ) } k = 0 n , {displaystyle {mathbf {r} (t_{k})}_{k=0}^{n},} которое соответствует разбиению { t k } k = 0 n {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}} отрезка параметризации.
- За l k {displaystyle l_{k}} обозначим часть кривой r ( t ) {displaystyle mathbf {r} (t)} от значения параметра t = t k − 1 {displaystyle t=t_{k-1}} до значения t = t k , {displaystyle t=t_{k},} где k = 1 , n ¯ . {displaystyle k={overline {1,n}}.}
- Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек r ( ξ k ) , {displaystyle mathbf {r} (xi _{k}),} каждая из которых лежит на l k {displaystyle l_{k}} ( k = 1 , n ¯ {displaystyle k={overline {1,n}}} ).
Интегральные суммы
Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки r ( ξ k ) , {displaystyle mathbf {r} (xi _{k}),} разбиение { t k } k = 0 n {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}} и участки l k {displaystyle l_{k}} кривой l . {displaystyle l.} Рассмотрим две интегральные суммы:
- интегральную сумму для интеграла первого рода: ∑ k = 1 n f ( r ( ξ k ) ) ⋅ | l k | , {displaystyle sum limits _{k=1}^{n}f{ig (}mathbf {r} (xi _{k}){ig )}cdot |l_{k}|,} где |lk| — длина участка lk;
- интегральную сумму для интеграла второго рода: ∑ k = 1 n f ( r ( ξ k ) ) ⋅ ( r ( t k ) − r ( t k − 1 ) ) , {displaystyle sum limits _{k=1}^{n}mathbf {f} {ig (}mathbf {r} (xi _{k}){ig )}cdot {ig (}mathbf {r} (t_{k})-mathbf {r} (t_{k-1}){ig )},}
Криволинейный интеграл
Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции f {displaystyle f} ( f {displaystyle mathbf {f} } ) по кривой l . {displaystyle l.} Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция f {displaystyle f} ( f {displaystyle mathbf {f} } ) интегрируема по кривой l . {displaystyle l.} Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:
∫ l f ( r ) | d r | , ∫ l f ( r ) ⋅ d r , {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |},quad int _{l}mathbf {f(r)cdot dr} ,}где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.
Если кривая l {displaystyle l} замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка ∫ {displaystyle extstyle int } принято писать ∮ . {displaystyle extstyle oint .}
Криволинейный интеграл первого рода
Свойства
Вычисление
Пусть l {displaystyle l} — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f ( r ) {displaystyle f(mathbf {r} )} определена и интегрируема вдоль кривой l . {displaystyle l.} Тогда в общем случае
∫ l f ( r ) | d r | = ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) d t | = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) d t | , {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |}=int _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)dt|=int _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)dt|,}или, если раскрыть модуль дифференциала dt,
∫ l f ( r ) | d r | = { ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | d t = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | ( − d t ) , если a < b , ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | ( − d t ) = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | d t , если a > b . {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |}={egin{cases}int limits _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|dt=int limits _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|(-dt),&{ ext{если}}~a<b,int limits _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|(-dt)=int limits _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|dt,&{ ext{если}}~a>b.end{cases}}}где точкой обозначена производная по t.
Криволинейный интеграл второго рода
Свойства
1. Линейность:
∫ l ( α f + β g ) ⋅ d r = α ∫ l f ⋅ d r + β ∫ l g ⋅ d r . {displaystyle int _{l}(alpha mathbf {f} +eta mathbf {g} )cdot mathbf {dr} =alpha int _{l}mathbf {fcdot dr} +eta int _{l}mathbf {gcdot dr} .}2. Аддитивность:
∫ A B f ⋅ d r + ∫ B C f ⋅ d r = ∫ A B C f ⋅ d r . {displaystyle int _{AB}mathbf {fcdot dr} +int _{BC}mathbf {fcdot dr} =int _{ABC}mathbf {fcdot dr} .}3. ∫ B A f ⋅ d r = ∫ A B f ⋅ ( − d r ) = − ∫ A B f ⋅ d r . {displaystyle int _{BA}mathbf {fcdot dr} =int _{AB}mathbf {f} cdot (-mathbf {dr} )=-int _{AB}mathbf {fcdot dr} .}
Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.
Вычисление
Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция f {displaystyle mathbf {f} } определена и интегрируема вдоль кривой l . {displaystyle l.} Тогда
∫ A B f ( r ) ⋅ d r = ∫ a b f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t , {displaystyle int _{AB}mathbf {f(r)cdot dr} =int _{a}^{b}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt,}а при изменении обхода кривой:
∫ B A f ( r ) ⋅ d r = ∫ b a f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t = − ∫ a b f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t . {displaystyle int _{BA}mathbf {f(r)cdot dr} =int _{b}^{a}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt=-int _{a}^{b}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt.}Взаимосвязь криволинейных интегралов
Если обозначить за τ → {displaystyle {vec { au }}} единичный вектор касательной к кривой l , {displaystyle l,} который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:
d r = τ → | d r | . {displaystyle mathbf {color {Green}dr} ={vec { au }}mathbf {color {Green}|dr|} .}В терминах самих интегралов это выглядит так:
∫ l f ⋅ d r = ∫ l ( f ⋅ τ → ) | d r | , {displaystyle int _{l}mathbf {fcdot color {Green}dr} =int _{l}mathbf {(fcdot {vec { au }})color {Green}|dr|} ,}где l {displaystyle l} — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция f {displaystyle mathbf {f} } интегрируема на ней.
Трёхмерное евклидово пространство
В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:
d x = cos ∠ ( i → , τ → ) | d r | ; {displaystyle dx=cos angle ({vec {i}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} d y = cos ∠ ( j → , τ → ) | d r | ; {displaystyle dy=cos angle ({vec {j}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} d z = cos ∠ ( k → , τ → ) | d r | . {displaystyle dz=cos angle ({vec {k}},{vec { au }})|mathbf {dr} |.}Тогда, раскладывая скалярное произведение в ∫ l f ⋅ d r = ∫ l ( f ⋅ τ → ) | d r | {displaystyle extstyle int _{l}mathbf {fcdot color {Green}dr} =int _{l}mathbf {(fcdot {vec { au }})color {Green}|dr|} } по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:
∫ l f x ( x , y , z ) d x = ∫ l f x ( x , y , z ) cos ∠ ( i → , τ → ) | d r | ; {displaystyle int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=int _{l}f_{x}(x,y,z)cos angle ({vec {i}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} ∫ l f y ( x , y , z ) d y = ∫ l f y ( x , y , z ) cos ∠ ( j → , τ → ) | d r | ; {displaystyle int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=int _{l}f_{y}(x,y,z)cos angle ({vec {j}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} ∫ l f z ( x , y , z ) d z = ∫ l f z ( x , y , z ) cos ∠ ( k → , τ → ) | d r | . {displaystyle int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=int _{l}f_{z}(x,y,z)cos angle ({vec {k}},{vec { au }})|mathbf {dr} |.}Механические приложения
- Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой
- Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом
- Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор rc как
- Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:
- Сила притяжения точечной массы m0 в начале координат с криволинейным телом l равна