Криволинейный интеграл

08.11.2022


Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть l {displaystyle l} — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

l :   r ( t ) , {displaystyle lcolon ~mathbf {r} (t),}

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой l . {displaystyle l.} При этом не играет роли, что больше — b или a.

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой l : {displaystyle lcolon } f ( r ) {displaystyle f(mathbf {r} )} или f ( r ) . {displaystyle mathbf {f} (mathbf {r} ).}

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

  • Пусть дано разбиение отрезка [ a , b ] {displaystyle [a,b]} (или [ b , a ] {displaystyle [b,a]} ) то есть множество { t k } k = 0 n = { t 0 ,   . . . , t n } , {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}={t_{0},~...,t_{n}},} где:
    • a = t 0 < … < t n = b , {displaystyle a=t_{0}<ldots <t_{n}=b,} если a < b ; {displaystyle a<b;}
    • или a = t 0 > … > t n = b , {displaystyle a={{t}_{0}}>ldots >{{t}_{n}}=b,} если a > b . {displaystyle a>b.}
  • Мелкостью этого разбиения называется число max k = 1 , n ¯ { | t k − t k − 1 | } , {displaystyle max _{k={overline {1,n}}}{|t_{k}-t_{k-1}|},} обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
  • Введём набор промежуточных точек разбиения — точек ξ k , {displaystyle xi _{k},} каждая из которых лежит между t k − 1 {displaystyle t_{k-1}} и t k {displaystyle t_{k}} ( k = 1 , n ¯ {displaystyle k={overline {1,n}}} ).

Разбиение кривой

  • Зададим разбиение кривой { r ( t k ) } k = 0 n , {displaystyle {mathbf {r} (t_{k})}_{k=0}^{n},} которое соответствует разбиению { t k } k = 0 n {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}} отрезка параметризации.
  • За l k {displaystyle l_{k}} обозначим часть кривой r ( t ) {displaystyle mathbf {r} (t)} от значения параметра t = t k − 1 {displaystyle t=t_{k-1}} до значения t = t k , {displaystyle t=t_{k},} где k = 1 , n ¯ . {displaystyle k={overline {1,n}}.}
  • Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек r ( ξ k ) , {displaystyle mathbf {r} (xi _{k}),} каждая из которых лежит на l k {displaystyle l_{k}} ( k = 1 , n ¯ {displaystyle k={overline {1,n}}} ).

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки r ( ξ k ) , {displaystyle mathbf {r} (xi _{k}),} разбиение { t k } k = 0 n {displaystyle {t_{k}}_{k=0}^{n}} и участки l k {displaystyle l_{k}} кривой l . {displaystyle l.} Рассмотрим две интегральные суммы:

  • интегральную сумму для интеграла первого рода: ∑ k = 1 n f ( r ( ξ k ) ) ⋅ | l k | , {displaystyle sum limits _{k=1}^{n}f{ig (}mathbf {r} (xi _{k}){ig )}cdot |l_{k}|,} где |lk| — длина участка lk;
  • интегральную сумму для интеграла второго рода: ∑ k = 1 n f ( r ( ξ k ) ) ⋅ ( r ( t k ) − r ( t k − 1 ) ) , {displaystyle sum limits _{k=1}^{n}mathbf {f} {ig (}mathbf {r} (xi _{k}){ig )}cdot {ig (}mathbf {r} (t_{k})-mathbf {r} (t_{k-1}){ig )},}
где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(tk) − r(tk−1).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции f {displaystyle f} ( f {displaystyle mathbf {f} } ) по кривой l . {displaystyle l.} Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция f {displaystyle f} ( f {displaystyle mathbf {f} } ) интегрируема по кривой l . {displaystyle l.} Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

∫ l f ( r ) | d r | , ∫ l f ( r ) ⋅ d r , {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |},quad int _{l}mathbf {f(r)cdot dr} ,}

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая l {displaystyle l} замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка ∫ {displaystyle extstyle int } принято писать ∮ . {displaystyle extstyle oint .}

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

  • Линейность: ∫ l ( α f ( r ) + β g ( r ) ) ⋅ | d r | = α ∫ l f | d r | + β ∫ l g | d r | . {displaystyle int _{l}(alpha f(mathbf {r} )+eta g(mathbf {r} ))cdot mathbf {|dr|} =alpha int _{l}fmathbf {|dr|} +eta int _{l}gmathbf {|dr|} .}
  • Аддитивность: если l 1 {displaystyle l_{1}} и l 2 {displaystyle l_{2}} пересекаются в одной точке, то ∫ l 1 ∪ l 2 f | d r | = ∫ l 1 f | d r | + ∫ l 2 f | d r | . {displaystyle int _{l_{1}cup l_{2}}fmathbf {|dr|} =int _{l_{1}}fmathbf {|dr|} +int _{l_{2}}fmathbf {|dr|} .}
  • Монотонность: если f ⩽ g {displaystyle fleqslant g} на l {displaystyle l} , то ∫ l f | d r | ⩽ ∫ l g | d r | . {displaystyle int _{l}fmathbf {|dr|} leqslant int _{l}gmathbf {|dr|} .}
  • Теорема о среднем: при непрерывности функции f {displaystyle f} на l {displaystyle l} для интеграла ∫ l f | d r | {displaystyle extstyle int _{l}fmathbf {|dr|} } возможно подобрать такую точку ξ ∈ l , {displaystyle xi in l,} что ∫ l f ( r ) | d r | = ∫ l f ( ξ ) | d r | , {displaystyle int _{l}fmathbf {(r)|dr|} =int _{l}f(xi )mathbf {|dr|} ,} или, что то же самое, ∫ l f ( r ) | d r | = f ( ξ ) ⋅ | l | . {displaystyle int _{l}fmathbf {(r)|dr|} =f(xi )cdot |l|.}
  • Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: ∫ A B f ⋅ | d r | = ∫ B A f ⋅ | − d r | = ∫ B A f ⋅ | d r | . {displaystyle int _{AB}fcdot |mathbf {dr} |=int _{BA}fcdot |{-}mathbf {dr} |=int _{BA}fcdot |mathbf {dr} |.}
  • Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
  • Вычисление

    Пусть l {displaystyle l} — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f ( r ) {displaystyle f(mathbf {r} )} определена и интегрируема вдоль кривой l . {displaystyle l.} Тогда в общем случае

    ∫ l f ( r ) | d r | = ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) d t | = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) d t | , {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |}=int _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)dt|=int _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)dt|,}

    или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

    ∫ l f ( r ) | d r | = { ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | d t = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | ( − d t ) , если   a < b , ∫ a b f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | ( − d t ) = ∫ b a f ( r ) ⋅ | r ˙ ( t ) | d t , если   a > b . {displaystyle int _{l}{f(mathbf {r} )|mathbf {dr} |}={egin{cases}int limits _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|dt=int limits _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|(-dt),&{ ext{если}}~a<b,int limits _{a}^{b}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|(-dt)=int limits _{b}^{a}f(mathbf {r} )cdot |mathbf {dot {r}} (t)|dt,&{ ext{если}}~a>b.end{cases}}}

    где точкой обозначена производная по t.

    Криволинейный интеграл второго рода

    Свойства

    1. Линейность:

    ∫ l ( α f + β g ) ⋅ d r = α ∫ l f ⋅ d r + β ∫ l g ⋅ d r . {displaystyle int _{l}(alpha mathbf {f} +eta mathbf {g} )cdot mathbf {dr} =alpha int _{l}mathbf {fcdot dr} +eta int _{l}mathbf {gcdot dr} .}

    2. Аддитивность:

    ∫ A B f ⋅ d r + ∫ B C f ⋅ d r = ∫ A B C f ⋅ d r . {displaystyle int _{AB}mathbf {fcdot dr} +int _{BC}mathbf {fcdot dr} =int _{ABC}mathbf {fcdot dr} .}

    3. ∫ B A f ⋅ d r = ∫ A B f ⋅ ( − d r ) = − ∫ A B f ⋅ d r . {displaystyle int _{BA}mathbf {fcdot dr} =int _{AB}mathbf {f} cdot (-mathbf {dr} )=-int _{AB}mathbf {fcdot dr} .}

    Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

    Вычисление

    Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция f {displaystyle mathbf {f} } определена и интегрируема вдоль кривой l . {displaystyle l.} Тогда

    ∫ A B f ( r ) ⋅ d r = ∫ a b f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t , {displaystyle int _{AB}mathbf {f(r)cdot dr} =int _{a}^{b}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt,}

    а при изменении обхода кривой:

    ∫ B A f ( r ) ⋅ d r = ∫ b a f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t = − ∫ a b f ( r ) ⋅ r ˙ ( t ) d t . {displaystyle int _{BA}mathbf {f(r)cdot dr} =int _{b}^{a}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt=-int _{a}^{b}mathbf {f(r)cdot {dot {r}}} (t)dt.}

    Взаимосвязь криволинейных интегралов

    Если обозначить за τ → {displaystyle {vec { au }}} единичный вектор касательной к кривой l , {displaystyle l,} который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

    d r = τ → | d r | . {displaystyle mathbf {color {Green}dr} ={vec { au }}mathbf {color {Green}|dr|} .}

    В терминах самих интегралов это выглядит так:

    ∫ l f ⋅ d r = ∫ l ( f ⋅ τ → ) | d r | , {displaystyle int _{l}mathbf {fcdot color {Green}dr} =int _{l}mathbf {(fcdot {vec { au }})color {Green}|dr|} ,}

    где l {displaystyle l} — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция f {displaystyle mathbf {f} } интегрируема на ней.

    Трёхмерное евклидово пространство

    В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

    d x = cos ⁡ ∠ ( i → , τ → ) | d r | ; {displaystyle dx=cos angle ({vec {i}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} d y = cos ⁡ ∠ ( j → , τ → ) | d r | ; {displaystyle dy=cos angle ({vec {j}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} d z = cos ⁡ ∠ ( k → , τ → ) | d r | . {displaystyle dz=cos angle ({vec {k}},{vec { au }})|mathbf {dr} |.}

    Тогда, раскладывая скалярное произведение в ∫ l f ⋅ d r = ∫ l ( f ⋅ τ → ) | d r | {displaystyle extstyle int _{l}mathbf {fcdot color {Green}dr} =int _{l}mathbf {(fcdot {vec { au }})color {Green}|dr|} } по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

    ∫ l f x ( x , y , z ) d x = ∫ l f x ( x , y , z ) cos ⁡ ∠ ( i → , τ → ) | d r | ; {displaystyle int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=int _{l}f_{x}(x,y,z)cos angle ({vec {i}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} ∫ l f y ( x , y , z ) d y = ∫ l f y ( x , y , z ) cos ⁡ ∠ ( j → , τ → ) | d r | ; {displaystyle int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=int _{l}f_{y}(x,y,z)cos angle ({vec {j}},{vec { au }})|mathbf {dr} |;} ∫ l f z ( x , y , z ) d z = ∫ l f z ( x , y , z ) cos ⁡ ∠ ( k → , τ → ) | d r | . {displaystyle int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=int _{l}f_{z}(x,y,z)cos angle ({vec {k}},{vec { au }})|mathbf {dr} |.}

    Механические приложения

    • Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой
    A = ∫ l F ⋅ d r . {displaystyle A=int _{l}mathbf {Fcdot dr} .}
    • Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом
    m = ∫ l μ ( r ) | d r | . {displaystyle m=int _{l}mathbf {mu (r)|dr|} .}
    • Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор rc как
    r c = 1 m ∫ l μ ( r ) r | d r | , {displaystyle mathbf {r} _{c}={frac {1}{m}}int _{l}mu (mathbf {r} )mathbf {r|dr|} ,} где m — масса кривой l.
    • Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:
    I x = ∫ l ( y 2 + z 2 ) μ ( r ) | d r | , {displaystyle I_{x}=int _{l}(y^{2}+z^{2})mu mathbf {(r)|dr|} ,} I y = ∫ l ( z 2 + x 2 ) μ ( r ) | d r | , {displaystyle I_{y}=int _{l}(z^{2}+x^{2})mu mathbf {(r)|dr|} ,} I z = ∫ l ( x 2 + y 2 ) μ ( r ) | d r | . {displaystyle I_{z}=int _{l}(x^{2}+y^{2})mu mathbf {(r)|dr|} .}
    • Сила притяжения точечной массы m0 в начале координат с криволинейным телом l равна
    F = γ m 0 ∫ l μ ( r ) r 3 | d r | , {displaystyle mathbf {F} =gamma m_{0}int _{l}{frac {mu (mathbf {r} )}{r^{3}}}|mathbf {dr} |,} где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.