Число Линделёфа

14.11.2022


Число Линделёфа - один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство. Определяется как наименьший кардинал m {displaystyle m} , такой, что из каждого открытого покрытия пространства X {displaystyle X} можно выбрать подпокрытие мощности не больше m {displaystyle m} . Обозначается как l ( X ) {displaystyle l(X)} . Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства X {displaystyle X} равно ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} , то X {displaystyle X} называют линделёфовым пространством.

Свойства

  • Число Линделёфа пространства X {displaystyle X} не выше сетевого веса X {displaystyle X} ( l ( X ) ⩽ n w ( X ) ) {displaystyle (l(X)leqslant nw(X))}
  • Мощность хаусдорфова пространства X {displaystyle X} не больше, чем 2 l ( X ) ∗ χ ( X ) {displaystyle 2^{l(X)*chi (X)}} , где χ ( X ) {displaystyle chi (X)} — характер топологического пространства X {displaystyle X}
  • Примеры

  • l ( R n ) = ℵ 0 {displaystyle l(mathbb {R} ^{n})=aleph _{0}}
  • l ( L ) = 2 ℵ 0 {displaystyle l(L)=2^{aleph _{0}}} , где L {displaystyle L} - Плоскость Немыцкого
  • l ( J ( m ) ) = m {displaystyle l(J(m))=m} , где J ( m ) {displaystyle J(m)} - ёж колючести m {displaystyle m}
  • Число Линделёфа прямой Зоргенфрея счётно
  • Число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму