ККС и КАС алгебры

29.11.2022


ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов, соответственно..

ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры

Пусть V {displaystyle V} - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,cdot )} (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами V {displaystyle V} , в которой выполняются соотношения

f g − g f = i ( f , g ) {displaystyle fg-gf=i(f,g)} f ∗ = f {displaystyle f^{*}=f}

для любых f , g {displaystyle f,g} в V {displaystyle V} называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, V {displaystyle V} снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,cdot )} унитальная *-алгебра, порожденная элементами V {displaystyle V} , в которой выполняются соотношения

f g + g f = ( f , g ) {displaystyle fg+gf=(f,g)} f ∗ = f {displaystyle f^{*}=f}

для всех f , g {displaystyle f,g} в V {displaystyle V} называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

ККС C*-алгебра

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть H {displaystyle H} - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,cdot )} . В теории операторных алгебр алгебра ККС над H {displaystyle H} является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами { W ( f ) : f ∈ H } {displaystyle {W(f):fin H}} обладающими свойствами

W ( f ) W ( g ) = e − i ( f , g ) W ( f + g ) {displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)} W ( f ) ∗ = W ( − f ) {displaystyle W(f)^{*}=W(-f)}

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент W ( f ) {displaystyle W(f)} является унитарным и W ( 0 ) = 1 {displaystyle W(0)=1} . Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.

Когда H {displaystyle H} является гильбертовым пространством, а ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,cdot )} задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх H {displaystyle H} , при помощи соотношения:

W ( f ) ( 1 , g , g ⊗ 2 2 ! , g ⊗ 3 3 ! , … ) = e − 1 2 | | f | | 2 − ⟨ f , g ⟩ ( 1 , f + g , ( f + g ) ⊗ 2 2 ! , ( f + g ) ⊗ 3 3 ! , … ) {displaystyle W(f)left(1,g,{frac {g^{otimes 2}}{2!}},{frac {g^{otimes 3}}{3!}},ldots ight)=e^{-{frac {1}{2}}||f||^{2}-langle f,g angle }left(1,f+g,{frac {(f+g)^{otimes 2}}{2!}},{frac {(f+g)^{otimes 3}}{3!}},ldots ight)}

для любых f , g ∈ H {displaystyle f,gin H} . Операторы поля B ( f ) {displaystyle B(f)} определяются для каждого f ∈ H {displaystyle fin H} как генераторы однопараметрической унитарной группы ( W ( t f ) ) t ∈ R {displaystyle (W(tf))_{tin mathbb {R} }} на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению

B ( f ) B ( g ) − B ( g ) B ( f ) = 2 i I m ⟨ f , g ⟩ {displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2imathrm {Im} langle f,g angle }

Поскольку отношение f ↦ B ( f ) {displaystyle fmapsto B(f)} является вещественнолинейным, поэтому операторы B ( f ) {displaystyle B(f)} определяют ККС-алгебру над ( H , 2 I m ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {displaystyle (H,2mathrm {Im} langle cdot ,cdot angle )} в смысле раздел 1.

КАС C*-алгебра

Пусть H {displaystyle H} - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами { b ( f ) , b ∗ ( f ) : f ∈ H } {displaystyle {b(f),b^{*}(f):fin H}} с учетом отношений

b ( f ) b ∗ ( g ) + b ∗ ( g ) b ( f ) = ⟨ f , g ⟩ , {displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=langle f,g angle ,,} b ( f ) b ( g ) + b ( g ) b ( f ) = 0 , {displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,,} λ b ∗ ( f ) = b ∗ ( λ f ) , {displaystyle lambda b^{*}(f)=b^{*}(lambda f),,} b ( f ) ∗ = b ∗ ( f ) , {displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),,}

для всех f , g ∈ H {displaystyle f,gin H} , λ ∈ C {displaystyle lambda in mathbb {C} } . Когда H {displaystyle H} отделима, КАС-алгебра представляет собой приближенно конечномерную C*-алгебру и, в частном случае бесконечномерного H {displaystyle H} , ее часто записывают как M 2 ∞ ( C ) {displaystyle {M_{2^{infty }}(mathbb {C} )}} .

Пусть F a ( H ) {displaystyle F_{a}(H)} будет антисимметричным пространством Фока над H {displaystyle H} и пусть P a {displaystyle P_{a}} будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

P a : ⨁ n = 0 ∞ H ⊗ n → F a ( H ) . {displaystyle P_{a}:igoplus _{n=0}^{infty }H^{otimes n} o F_{a}(H).,}

КАС-алгебра точно представляется в F a ( H ) {displaystyle F_{a}(H)} , при помощи соотношения

b ∗ ( f ) P a ( g 1 ⊗ g 2 ⊗ ⋯ ⊗ g n ) = P a ( f ⊗ g 1 ⊗ g 2 ⊗ ⋯ ⊗ g n ) {displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}otimes g_{2}otimes cdots otimes g_{n})=P_{a}(fotimes g_{1}otimes g_{2}otimes cdots otimes g_{n}),}

для всех f , g 1 , … , g n ∈ H {displaystyle f,g_{1},ldots ,g_{n}in H} и n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } . Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля B ( f ) := b ∗ ( f ) + b ( f ) {displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)} удовлетворяют соотношению

B ( f ) B ( g ) + B ( g ) B ( f ) = 2 R e ⟨ f , g ⟩ , {displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2mathrm {Re} langle f,g angle ,,}

дающему связь с глава 1.