Квадратичное поле

18.12.2022


Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над Q {displaystyle mathbb {Q} } . Можно доказать, что отображение d ↦ Q ( d ) {displaystyle dmapsto mathbb {Q} ({sqrt {d}})} задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если d > 0 , {displaystyle d>0,} квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть D {displaystyle D} — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое O Q ( D ) {displaystyle {mathcal {O}}_{mathbf {Q} ({sqrt {D}})}} ) — это множество линейных комбинаций вида a + b D {displaystyle a+b{sqrt {D}}} (квадратичных иррациональностей), где a , b ∈ Z {displaystyle a,bin mathbb {Z} } , с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если D ≡ 1 ( mod 4 ) {displaystyle Dequiv 1{pmod {4}}} , кольцо целых состоит из чисел вида a + b ⋅ 1 + D 2 {displaystyle a+bcdot { frac {1+{sqrt {D}}}{2}}} , где a , b ∈ Z {displaystyle a,bin mathbb {Z} } .

Примеры колец целых

  • Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю D = − 1 {displaystyle D=-1} . Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.
  • Случаю D = − 3 {displaystyle D=-3} (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант

Дискриминант квадратичного поля Q ( d ) {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}})} равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}} (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

  • (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p2 элементов:
O K / p O K ≅ F p 2 {displaystyle {mathcal {O}}_{K}/p{mathcal {O}}_{K}cong mathbb {F} _{p^{2}}}
  • (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.
O K / p O K ≅ F p × F p {displaystyle {mathcal {O}}_{K}/p{mathcal {O}}_{K}cong mathbb {F} _{p} imes mathbb {F} _{p}}
  • (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера ( D p ) {displaystyle left({ frac {D}{p}} ight)} равен −1 и 1 соответственно.