Критерий устойчивости Рауса

05.01.2023


Критерий устойчивости Рауса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больших степенях характеристического полинома.

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть W ( s ) = Y ( s ) U ( s ) {displaystyle W(s)={frac {Y(s)}{U(s)}}} — передаточная функция системы, а   U ( s ) = 0 {displaystyle U(s)=0} — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином   U ( s ) {displaystyle U(s)} в виде

  U ( s ) = a 0 s n + a 1 s n − 1 + . . . + a n {displaystyle U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}}

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

  • в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
  • во второй строке — с нечётными;
  • остальные элементы таблицы определяются по формуле:   c k , i = c k + 1 , i − 2 − r i ⋅ c k + 1 , i − 1 {displaystyle c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}cdot c_{k+1,i-1}} , где r i = c 1 , i − 2 c 1 , i − 1 , i ≥ 3 {displaystyle r_{i}={frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},igeq 3} — номер строки,   k {displaystyle k} — номер столбца;
  • число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.
  • Таблица Рауса:


    Формулировка критерия Рауса:

    Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса   c 1 , 1 , c 1 , 2 , c 1 , 3 , . . . {displaystyle c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...} были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.