Произведение Кулкарни — Номидзу

Произведение Кулкарни — Номидзу определяется для двух (0,2)-тензоров и даёт в результате (0,4)-тензор. Это произведение позволяет выразить тензор кривизны с нулевым тензором Вейля через тензора кривизны Риччи.

Обычно обозначается   ∧ ◯   {displaystyle {~wedge !!!!!!igcirc ~}} .

Определение

Если h {displaystyle h} и k {displaystyle k} — (0,2)-тензоры, то произведение определяется как:

h   ∧ ◯   k ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) := h ( X 1 , X 3 ) ⋅ k ( X 2 , X 4 ) + h ( X 2 , X 4 ) ⋅ k ( X 1 , X 3 ) − {displaystyle h{~wedge !!!!!!igcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h(X_{1},X_{3})cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})cdot k(X_{1},X_{3})-} − h ( X 1 , X 4 ) ⋅ k ( X 2 , X 3 ) − h ( X 2 , X 3 ) ⋅ k ( X 1 , X 4 ) {displaystyle -h(X_{1},X_{4})cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})cdot k(X_{1},X_{4})}

где Xj векторы основного пространства.

Примеры

• Если риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну k {displaystyle k} то его тензор кривизны R {displaystyle R} выражается из метрического тензора g {displaystyle g} следующим образом: R = k 2 ⋅ g   ∧ ◯   g {displaystyle R={frac {k}{2}}cdot g{~wedge !!!!!!igcirc ~}g}